Question

已知一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面相切，若這個球的體積是，則這個三棱柱的體積是（ ）
A．96
B．16
C．24
D．48

Answer 1

【答案】分析：由球的體積可以求出半徑，從而得棱柱的高；由球與正三棱柱的三個側面相切，得球的半徑和棱柱底面正△邊長的關系，求出邊長，即求出底面正△的面積；得出棱柱的體積．
解答：解：由球的體積公式，得πR³=，
∴R=2．
∴正三棱柱的高h=2R=4．
設正三棱柱的底面邊長為a，則其內切圓的半徑為：•a=2，
∴a=4．
∴該正三棱柱的體積為：V=S_底•h=•a•a•sin60°•h=•（4）²•4=48．
故答案為：D
點評：本題考查了球的體積，柱體體積公式的應用；本題的解題關鍵是求底面邊長，這是通過正△的內切圓與邊長的關系得出的．