Question

（2008•閘北區一模）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c．
（Ⅰ）若c=2，C=

π

3

，且△ABC的面積S=

3

，求a，b的值；
（Ⅱ）若sinC+sin（B-A）=sin2A，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據余弦定理，得c²=a²+b²-ab=4，再由面積正弦定理得

1

2

absinC=

3

，兩式聯解可得到a，b的值；
（Ⅱ）根據三角形內角和定理，得到sinC=sin（A+B），代入已知等式，展開化簡合并，得sinBcosA=sinAcosA，最后討論當cosA=0時與當cosA≠0時，分別對△ABC的形狀的形狀加以判斷，可以得到結論．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理 及已知條件得，a²+b²-ab=4，…．（3分）
又因為△ABC的面積等于

3

，所以

1

2

absinC=

3

，得ab=4．（5分）
聯立方程組

a2+b2-ab=4 ab=4

解得a=2，b=2．（7分）
（Ⅱ）由題意得：sinC+sin（B-A）=sin2A
得到sin（A+B）+sin（B-A）=sin2A=2sinAcoA
即：sinAcosB+cosAsinB+sinAcosB-cosAsinB=2sinAcoA
所以有：sinBcosA=sinAcosA，（10分）
當cosA=0時，A=

π

2

，△ABC為直角三角形（12分）
當cosA≠0時，得sinB=sinA，由正弦定理得a=b，
所以，△ABC為等腰三角形．（14分）

點評：本題考查了正弦定理與余弦定理的應用，屬于中檔題．熟練掌握三角函數的有關公式，是解好本題的關鍵．