Question

某廠生產產品x件的總成本c（x）=1200+

2

75

x³（萬元），已知產品單價P（萬元）與產品件數x滿足：p²=

k

x

，生產100件這樣的產品單價為50萬元．
（1）設產量為x件時，總利潤為L（x）（萬元），求L（x）的解析式；
（2）產量x定為多少件時總利潤L（x）（萬元）最大？并求最大值（精確到1萬元）．

Answer 1

分析：（1）由題可知生產100件這樣的產品單價為50萬元，所以把x=100，P=50代入到p²=

k

x

中求出k的值確定出P的解析式，然后根據總利潤=總銷售額-總成本得出L（x）即可；
（2）令L′（x）=0求出x的值，此時總利潤最大，最大利潤為L（25）．

解答：解：（1）由題意有502=

k

100

，解得k=25×10⁴，∴P=

25×104 x

=

500

x

，
∴總利潤L(x)=x•

500

x

-1200-

2x3

75

=-

2x3

75

+500

x

-1200(x＞0)；
（2）由（1）得L′(x)=-

2

25

x2+

250

x

，令L′(x)=0?

250

x

=

2

25

x2，
令t=

x

，得

250

t

=

2

25

t4?t5=125×25=55，∴t=5，于是x=t²=25，
則x=25，所以當產量定為25時，總利潤最大．
這時L（25）≈-416.7+2500-1200≈883．
答：產量x定為25件時總利潤L（x）最大，約為883萬元．

點評：考查學生根據實際問題選擇函數關系的能力，及利用導數求函數最值的方法的能力．