Question

某廠生產產品x件的總成本c（x）=

1

12

x3（萬元），已知產品單價P（萬元） 與產品件數x滿足：P²=

k

x

，生產1件這樣的產品單價為16萬元．
（1）設產量為x件時，總利潤為L（x）（萬元），求L（x）的解析式；
（2）產量x定為多少件時總利潤L（x）（萬元）最大？

Answer 1

分析：（1）利用一件產品的單價可得得出k，進而得出P與x的關系，用毛利潤減去總成本即可得出總利潤；
（2）利用導數即可得出極大值，進而得到最大值．

解答：解：（1）由題意有162=

k

1

，解得k=256，
∴P=

256 x

=

16

x

，
∴總利潤L(x)=x•

16

x

-

x3

12

=-

x3

12

+16

x

(x＞0)；
（2）由（1）得L′(x)=-

1

4

x2+

8

x

，令L′(x)=0⇒

8

x

=

1

4

x2，
解得x=4，則x=4，所以當產量定為4時，總利潤最大．
答：產量x定為4件時總利潤L（x）最大．

點評：熟練掌握利潤與成本的關系、利用導數研究函數的單調性極值與最值等是解題的關鍵．