Question

證明：當x≥0時，cosx≥1-

1

2

x²．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)f（x）=cosx+

1

2

x²-1，求導(dǎo)f′（x）=x-sinx；再二階求導(dǎo)f″（x）=1-cosx；從而確定函數(shù)的單調(diào)性，從而證明．

解答： 證明：令f（x）=cosx+

1

2

x²-1；
則f′（x）=x-sinx；
f″（x）=1-cosx；
∵f″（x）=1-cosx≥0；
∴f′（x）=x-sinx在[0，+∞）上是增函數(shù)，
而f′（0）=0；
故f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立；
故f（x）=cosx+

1

2

x²-1在[0，+∞）上是增函數(shù)；
故cosx+

1

2

x²-1≥cos0-1=0；
故當x≥0時，cosx≥1-

1

2

x²．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及二階求導(dǎo)的應(yīng)用，屬于中檔題．