Question

（理）（1）證明不等式：ln（1+x）＜（x＞0）．
（2）已知函數f（x）=ln（1+x）-在（0，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍．
（3）若關于x的不等式≥1在[0，+∞）上恒成立，求實數b的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令h（x）=ln（1+x）-，證明h（x）在（0，+∞）上單調遞減，即h（x）＜h（0），從而可得結論；
（2）求導函數，令f′（x）=0，可得x=0或x=a²-2a，根據函數f（x）=ln（1+x）-在（0，+∞）上單調遞增，可得f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，從而可求實數a的取值范圍；
（3）關于x的不等式≥1在[0，+∞）上恒成立，等價于在[0，+∞）上恒成立，當x＞0時，b≤1+-，構造函數g（x）=1+-，利用ln（1+x）＜（x＞0），可得g（x）在（0，+∞）上單調增，從而可求實數b的最大值．
解答：（1）證明：（1）令h（x）=ln（1+x）-，則h′（x）=
∴h（x）在（0，+∞）上單調遞減，即h（x）＜h（0）=0
∴ln（1+x）-＜0
∴ln（1+x）＜（x＞0）．
（2）解：求導函數，可得f′（x）=，令f′（x）=0，可得x=0或x=a²-2a，
∵函數f（x）=ln（1+x）-在（0，+∞）上單調遞增
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立
∴a²-2a≤0
∵f（x）在（0，+∞）上有意義
∴a≥0
∴0≤a≤2；
（3）解：關于x的不等式≥1在[0，+∞）上恒成立，等價于在[0，+∞）上恒成立，
∵0，∴b≥0
當x＞0時，b≤1+-
構造函數g（x）=1+-，則
由（1）知，ln（1+x）＜（x＞0）．
以e^x代1+x，可得，
∵x＞0，∴-＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調增
當x＞0且x→0時，g（x）→1
∴b≤1
∴實數b的最大值為1
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查函數的構造，屬于中檔題．