Question

（理）（1）證明不等式：ln（1+x）＜（x＞0）．
（2）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）若關(guān)于x的不等式≥1在[0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)b的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令h（x）=ln（1+x）-，證明h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，即h（x）＜h（0），從而可得結(jié)論；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）=0，可得x=0或x=a²-2a，根據(jù)函數(shù)f（x）=ln（1+x）-在（0，+∞）上單調(diào)遞增，可得f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）關(guān)于x的不等式≥1在[0，+∞）上恒成立，等價(jià)于在[0，+∞）上恒成立，當(dāng)x＞0時(shí)，b≤1+-，構(gòu)造函數(shù)g（x）=1+-，利用ln（1+x）＜（x＞0），可得g（x）在（0，+∞）上單調(diào)增，從而可求實(shí)數(shù)b的最大值．
解答：（1）證明：（1）令h（x）=ln（1+x）-，則h′（x）=
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，即h（x）＜h（0）=0
∴l(xiāng)n（1+x）-＜0
∴l(xiāng)n（1+x）＜（x＞0）．
（2）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=，令f′（x）=0，可得x=0或x=a²-2a，
∵函數(shù)f（x）=ln（1+x）-在（0，+∞）上單調(diào)遞增
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立
∴a²-2a≤0
∵f（x）在（0，+∞）上有意義
∴a≥0
∴0≤a≤2；
（3）解：關(guān)于x的不等式≥1在[0，+∞）上恒成立，等價(jià)于在[0，+∞）上恒成立，
∵0，∴b≥0
當(dāng)x＞0時(shí)，b≤1+-
構(gòu)造函數(shù)g（x）=1+-，則
由（1）知，ln（1+x）＜（x＞0）．
以e^x代1+x，可得，
∵x＞0，∴-＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)增
當(dāng)x＞0且x→0時(shí)，g（x）→1
∴b≤1
∴實(shí)數(shù)b的最大值為1
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的構(gòu)造，屬于中檔題．