Question

設{a_n}是公比為正數的等比數列，a₁=2，a₃=a₂+4，設{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列，則數列{a_n+b_n}的前n項和S_n=

2ⁿ⁺¹-2+n²．（n∈N^*）

．

Answer 1

分析：利用等差數列和等比數列的通項公式即可得到a_n，b_n．進而利用等差數列和等比數列的前n項和公式即可得出．

解答：解：設等比數列{a_n}的公比為q＞0，∵a₁=2，a₃=a₂+4，∴2q²=2q+4，化為q²-q-2=0，
∵q＞0，解得q=2．∴an=2×2n-1=2ⁿ．
∵{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列，∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴數列{a_n+b_n}的前n項和S_n=a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…+b_n=2¹+2²+…+2ⁿ+（1+3+…+2n-1）
=

2(2n-1)

2-1

+

n(1+2n-1)

2

=2ⁿ⁺¹-2+n²．（n∈N^*）
故答案為2ⁿ⁺¹-2+n²．（n∈N^*）．

點評：熟練掌握等差數列和等比數列的通項公式、前n項和公式是解題的關鍵．