Question

設數列{a_n}的前n項積為T_n，已知對?n，m∈N₊，當n＞m時，總有（q＞0是常數）．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）設正整數k，m，n（k＜m＜n）成等差數列，試比較T_n•T_k和（T_m）²的大小，并說明理由；
（3）探究：命題p：“對?n，m∈N₊，當n＞m時，總有（q＞0是常數）”是命題t：“數列{a_n}是公比為q（q＞0）的等比數列”的充要條件嗎？若是，請給出證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：設m=1，則有，∴
∴
∴n≥2時，
∴數列{a_n}是等比數列；
（2）解：當q=1時，a_n=a₁，∴，∴T_n•T_k===
當q≠1時，，
∴T_n•T_k=•=
∵=，n+k=2m，k＜m＜n
∴=，＞
∴q＞1時，T_n•T_k＞；q＜1時，T_n•T_k＜
（3）證明：由（1）知，充分性成立；
必要性：若數列{a_n}是公比為q（q＞0）的等比數列，則
∴q≠1時，
∴=
=•q^（n-m）m=
∴
∴對?n，m∈N₊，當n＞m時，總有（q＞0是常數）
同理可證，當q=1時，也成立
∴命題p：“對?n，m∈N₊，當n＞m時，總有（q＞0是常數）”是命題t：“數列{a_n}是公比為q（q＞0）的等比數列”的充要條件．
分析：（1）設m=1，則有，從而可得，即可證得數列{a_n}是等比數列；
（2）當q=1時，T_n•T_k===；當q≠1時，，，從而可得T_n•T_k=•=，根據=，n+k=2m，k＜m＜n，利用基本不等式，即可得到結論；
（3）證明：由（1）知，充分性成立；
必要性：利用q≠1時，，，可證得，同理可證，當q=1時，也成立，故得證．
點評：本題考查等比數列的定義，考查新定義，考查充要性的證明，綜合性強，難度大．