Question

設等差數列{a_n}的首項為1，其前n項和為S_n，{b_n}是公比為正整數的等比數列，其首項為3，前n項和為T_n．若a₃+b₃=17，T₃-S₃=12．
（1）求{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n+

2

3

b_n}的前n項和M_n．

Answer 1

分析：（1）由已知

1+2d+3q2=17 3(1+q+q2)-(3+3d)=12

解方程可求得q，d，然后結合等差數列與等比數列的通項公式
（2）由an+

2

3

bn=2n-1+2ⁿ，然后結合等差數列與等比數列的求和公式進行分組求和即可求解

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q
由已知

1+2d+3q2=17 3(1+q+q2)-(3+3d)=12

解方程可得q=2，d=2
∴a_n=2n-1，bn=3•2 n-1
（2）an+

2

3

bn=2n-1+2ⁿ
∴T_n=1+2¹+3+2²+…+2n-1+2ⁿ
=（1+3+5+…+2n-1）+（2+2²+…+2ⁿ）
=

n(1+2n-1)

2

+

2(1-2n)

1-2

=n²+2ⁿ⁺¹-2

點評：本題主要考查了等差數列、等比數列的通項公式及求和公式的簡單應用及分組求和方法的簡單應用，屬于基礎試題