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已知 $數學公式$ 、 $數學公式$ 都是非零向量，且 $數學公式$ +3 $數學公式$ 與7 $數學公式$ -5 $數學公式$ 垂直， $數學公式$ -4 $數學公式$ 與7 $數學公式$ -2 $數學公式$ 垂直，求 $數學公式$ 與 $數學公式$ 的夾角．

解：由題意，得
（ $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ ）•（7 $\text{[math]}$ -5 $\text{[math]}$ ）=0且（ $\text{[math]}$ -4 $\text{[math]}$ ）•（7 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ）=0，
即7 $\text{[math]}$ ²+16 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ -15 $\text{[math]}$ ²=0…①，
7 $\text{[math]}$ ²-30 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ +8 $\text{[math]}$ ²=0…②
①-②得2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ²，代入①式得 $\text{[math]}$ ²= $\text{[math]}$ ²，| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |
∴cosθ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵θ∈[0°，180°]，∴θ=60°
即 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 的夾角為60°．
分析：根據互相垂直的兩個向量數量積為零，得（ $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ ）•（7 $\text{[math]}$ -5 $\text{[math]}$ ）=0且（ $\text{[math]}$ -4 $\text{[math]}$ ）•（7 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ）=0．由此結合數量積的運算性質，化簡整理得| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |且2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ²，再運用向量夾角公式，得到 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的夾角余弦值，即得 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 的夾角大小．
點評：本題給出關于向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的幾個線性組合，在已知兩對向量互相垂直的情況下求向量 $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 的夾角大�。乜疾榱似矫嫦蛄繑盗糠e的公式及其運算性質等知識，屬于基礎題．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a、b都是非零向量，且

與7

-5

垂直，

-4

與7

-2

垂直，則

與

的夾角為

．

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）與（7

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）垂直，（

-4

）與（7

-2

）垂直，求

與

的夾角．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在以下四個命題中，不正確的個數為（　�。�
（1）若

與

都是非零向量，則

•

是

⊥(

)的充要條件
（2）已知不共線的三點A、B、C和平面ABC外任意一點O，點P在平面ABC內的充要條件是存在x，y，z∈R，

且x+y+z=1
（3）空間三個向量

，

，若

∥

，

∥

，則

∥

（4）對于任意空間任意兩個向量

，

∥

的充要條件是存在唯一的實數λ，使

=λ

．

A．1

B．2

C．3

D．4

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知、都是非零向量，且 + 3與7 - 5垂直， - 4與7 - 2垂直，則與的夾角為（）

A．30° B．45° C．60° D．120°

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同步練習冊答案

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練習冊

高中

初中

小學

已知 $數學公式$ 、 $數學公式$ 都是非零向量，且 $數學公式$ +3 $數學公式$ 與7 $數學公式$ -5 $數學公式$ 垂直， $數學公式$ -4 $數學公式$ 與7 $數學公式$ -2 $數學公式$ 垂直，求 $數學公式$ 與 $數學公式$ 的夾角．

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高中

初中

小學

已知、都是非零向量，且+3與7-5垂直，-4與7-2垂直，求與的夾角．

已知 $數學公式$ 、 $數學公式$ 都是非零向量，且 $數學公式$ +3 $數學公式$ 與7 $數學公式$ -5 $數學公式$ 垂直， $數學公式$ -4 $數學公式$ 與7 $數學公式$ -2 $數學公式$ 垂直，求 $數學公式$ 與 $數學公式$ 的夾角．