Question

已知a、b都是非零向量，且（

a

+3

b

）與（7

a

-5

b

）垂直，（

a

-4

b

）與（7

a

-2

b

）垂直，求

a

與

b

的夾角．

Answer 1

分析：利用兩個向量垂直，數量積等于0，得到兩個向量間的關系，代入兩個向量的夾角公式求出夾角的余弦值，進而
求出夾角的大小．

解答：解：由已知，（

a

+3

b

）•（7

a

-5

b

）=0，（

a

-4

b

）•（7

a

-2

b

）=0，
即  7

a

2+16

a

•

b

-15

b

2=0 ①，7

a

2-30

a

•

b

+8

b

2=0 ②，
①-②得2

a

•

b

=

b

2，代入①式得

a

2=

b

2，
∴cosθ=

a • b

| a || b |

=

1 2 b 2

| b |2

=

1

2

，
故

a

與

b

的夾角為60°．

點評：本題考查兩個向量垂直的性質以及兩個向量的夾角公式的應用，屬于中檔題．