Question

如圖，是我國古代數學家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如果小正方形的面積為4，大正方形的面積為100，直角三角形中較小的銳角為α，tan

α

2

=

1

3

．

Answer 1

分析：由題意知小正方形的邊長為2，大正方形的邊長為10．設直角三角形中較小邊長為x，根據圖形可得較長邊長為x+2，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解可得x的值，從而求出較長邊及較小邊的長度．運用正切函數定義得出tanα的值，然后利用二倍角的正切函數公式得出關于tan

α

2

的方程，求出方程的解即可求出tan

α

2

的值．

解答：解：由題意知，小正方形的邊長為2，大正方形的邊長為10．
設直角三角形中較小邊長為x，
則有（x+2）²+x²=10²，
解得，x=6．
∴較長邊的邊長為x+2=8．
∴tanα=

6

8

=

3

4

，又tanα=

2tan α 2

1-tan2 α 2

，
可得：

2tan α 2

1-tan2 α 2

=

3

4

，即（3tan

α

2

-1）（tan

α

2

+3）=0，
解得：tan

α

2

=

1

3

，tan

α

2

=-3（舍去），
則tan

α

2

=

1

3

．
故答案為：

1

3

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：勾股定理，正方形的性質，銳角三角函數定義以及二倍角的正切函數公式，在求出tan

α

2

的值后，應根據

α

2

為銳角，對其值作出合理的取舍．