Question

《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表．其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積=

1

2

（弦×矢+矢²）．弧田（如圖），由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．按照上述經驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差．現有圓心角為

2π

3

，弦長等于9米的弧田．
（1）計算弧田的實際面積；
（2）按照《九章算術》中弧田面積的經驗公式計算所得結果與（1）中計算的弧田實際面積相差多少平方米？（結果保留兩位小數）

Answer 1

分析：（1）利用扇形的面積公式，計算扇形的面積，從而可得弧田的實際面積；
（2）按照上述弧田面積經驗公式計算得

1

2

（弦×矢+矢²），從而可求誤差．

解答：解：（1）扇形半徑r=3

3

，…（2分）
扇形面積等于

1

2

αr2=

1

2

•

2π

3

•(3

3

)2=9π（m²）…（5分）
弧田面積=

1

2

αr2-

1

2

r²sin

2π

3

=9π-

27 3

4

（m²）…（7分）
（2）圓心到弦的距離等于

1

2

r，所以矢長為

1

2

r．
按照上述弧田面積經驗公式計算得

1

2

（弦×矢+矢²）=

1

2

（9×

3 3

2

+

27

4

）=

27

4

（

3

+

1

2

）．…（10分）
∴9π-

27 3

4

-

27

4

（

3

+

1

2

）=1.51664798≈1.52（m²）…（12分）
按照弧田面積經驗公式計算結果比實際少1.52平米．

點評：本題考查扇形的面積公式，考查學生對題意的理解，考查學生的計算能力，屬于中檔題．