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已知數列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=n2+n(n∈N*)
(I)求數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若bn=
2(n+1)an
,求數列{bn}的前n項和Tn
(Ⅲ)若?n∈N*,使Tn<C成立,求實數C的取值范圍.
分析:(I)利用當n=1時,a1=S1;當n≥2時,an=Sn-Sn-1,即可得出;
(II)利用(I)和裂項求和即可得出Tn
(III)若?n∈N*,使Tn<C成立?(Tnmin<C,求出即可.
解答:解:(I)當n=1時,a1=S1=1+n=2.
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+n-1]=2n.當n=1時也成立.
an=2n(n∈N*)
(II)∵bn=
2
(n+1)an
=
2
2n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1

∴數列{bn}的前n項和Tn=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+
…+(
1
n
-
1
n+1
)

=1-
1
n+1

=
n
n+1

(III)若?n∈N*,使Tn<C成立?(Tnmin<C,
∵n≥1,Tn=1-
1
n+1
≥1-
1
1+1
=
1
2
,即(Tn)min=
1
2

∴實數C的取值范圍是(
1
2
,+∞)
點評:熟練掌握an=
S1,n=1
Sn-Sn-1,n≥2
,裂項求和、及其等價轉化等是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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