Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足Sn=n2+n(n∈N*)．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若bn=

2

(n+1)an

，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（Ⅲ）若?n∈N^*，使T_n＜C成立，求實數C的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用當n=1時，a₁=S₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可得出；
（II）利用（I）和裂項求和即可得出T_n．
（III）若?n∈N^*，使T_n＜C成立?（T_n）_min＜C，求出即可．

解答：解：（I）當n=1時，a₁=S₁=1+n=2．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+n-1]=2n．當n=1時也成立．
∴an=2n(n∈N*)．
（II）∵bn=

2

(n+1)an

=

2

2n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴數列{b_n}的前n項和T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
（III）若?n∈N^*，使T_n＜C成立?（T_n）_min＜C，
∵n≥1，Tn=1-

1

n+1

≥1-

1

1+1

=

1

2

，即(Tn)min=

1

2

．
∴實數C的取值范圍是(

1

2

，+∞)．

點評：熟練掌握an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，裂項求和、及其等價轉化等是解題的關鍵．