Question

已知f(x)=

2x-a

2x+1

（a∈R）是奇函數．
（1）求a的值；
（2）求函數F（x）=f（x）+2^x-

4

2x+1

-1的零點；
（3）設g（x）=log₄

k+x

1-x

，若方程f^-1（x）=g（x）在x∈[

1

2

，

2

3

]上有解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：f（0）=0，解得a=1，注意驗證；
（2）把（1）的結論代入可得函數，轉化為方程的根可得答案；
（3）求函數的反函數可得log2

1+x

1-x

=log4

k+x

1-x

，由對數的運算性質可得k=

2x2+x+1

1-x

，用換元法令m=1-x，由關于m的函數的范圍可得答案．

解答：解：（1）由奇函數的定義可得：f（-x）=-f（x），
取x=0即得f（0）=0，解得a=1，2分
經驗證知當a=1時，f(x)=

2x-1

2x+1

，此時滿足f（x）=-f（-x），
故當a=1時，f（x）在R上的奇函數，4分
（2）由（1）知：f(x)=

2x-1

2x+1

，故F（x）=

2x-1

2x+1

+2x-

4

2x+1

-1=

(2x)2+2x-6

2x+1

       6分
由（2^x）²+2^x-6=0，可得2^x=2，8分
所以x=1，即F（x）的零點為x=1．                 10分
（3）由f^-1（x）=g（x）得log2

1+x

1-x

=log4

k+x

1-x

，11分
由對數函數的運算性質可得：k+x=

(1+x)2

1-x

      12分
顯然當x∈[

1

2

，

2

3

]時k+x＞0，即k=

2x2+x+1

1-x

     13分
設m=1-x  ，由于x∈[

1

2

，

2

3

]    所以m∈[

1

3

，

1

2

]     14分
于是

2x2+x+1

1-x

=

2m2-5m+4

m

=2m+

4

m

-5∈[4，

23

3

]    15分
所以實數k的取值范圍4≤k≤

23

3

    16分．

點評：本題考查函數的奇偶性和零點，涉及對數的運算，屬中檔題．