Question

【題目】已知拋物線的焦點為，點是拋物線上任意一點，以為直徑作圓.

（1）判斷圓與坐標軸的位置關系，并證明你的結論；

（2）設直線與拋物線交于，，且，若的面積為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）相切，證明見解析 （2）或.

【解析】

（1）利用圓心到y軸的距離等于半徑，從而判斷圓與軸相切；

（2）設直線的方程為，（），，，根據可證得直線過定點，再利用三角形的面積求得的值，即可得答案.

（1）相切，證明如下：設，圓的半徑為.

則，線段的中點為，

所以，以為直徑的圓的圓心到軸的距離.

從而，圓與坐標軸相切.（證畢）

（2）解：設直線的方程為，（），，

由（*），

得，，

又由，即，

解得或（舍）.

∴直線的方程為，故直線恒過定點.

∴，，

∴.

所以，.

回代方程（*），檢驗.

所以，直線的方程為或.