Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知

a

3 cosA

=

c

sinC

，
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=6，S=9

3

，求b和c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，整理后求出tanA的值，即可確定出A的大小；
（Ⅱ）利用三角形面積公式列出關系式，將sinA與S代入求出bc的值，再由a，bc及cosA的值，利用余弦定理列出關系式，整理后求出b+c的值，與bc的值聯立即可求出b與c的值．

解答：解：（Ⅰ）由條件結合正弦定理得

a

3 cosA

=

c

sinC

=

a

sinA

，
∴sinA=

3

cosA，
即tanA=

3

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）∵S=

1

2

bcsinA=

1

2

bc•

3

2

=

3

4

bc=9

3

，
∴bc=36，①
∵a=6，bc=36，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
即36=b²+c²-2abcos60°=（b+c）²-3ab=（b+c）²-108，
即（b+c）²=144，
∴b+c=12，②
聯立①②得：b=c=6．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．