Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c并且滿足

b

a

=

sinB

cosA

．
（1）求∠A的值；
（2）求用角B表示

2

sinB-cosC，并求它的最大值．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，求出tanA的值，根據A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（2）根據A的度數求出B+C的度數，用B表示出C，代入原式利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據B的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的值域即可確定出最大值．

解答：解：（1）∵

b

a

=

sinB

sinA

，
∴利用正弦定理得：

sinB

sinA

=

sinB

cosA

，
又∵A∈（0，π），sinB≠0，
∴sinA=cosA，即tanA=1，
則A=45°；
（2）∵A=45°，
∴B+C=135°，C=135°-B，
∴

2

sinB-cosC
=

2

sinB-cos（135°-B）
=

2

sinB-cos135°cosB-sin135°sinB
=

2

sinB+

2

2

cosB-

2

2

sinB
=

2

2

sinB+

2

2

cosB=sin（B+45°），
∵0＜B＜135°，∴45°＜B+45°＜180°，
∴0＜sin（B+45°）≤1，
則

2

sinB-cosC的最大值是1．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦、余弦函數公式，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．