Question

已知sinα=

12

13

，sin（α+β）=

4

5

，α與β均為銳角，求cos

β

2

．（cos

β

2

=±

1+cosβ 2

）

Answer 1

分析：利用同角三角函數的基本關系及角的范圍，求出cosα、cos（α+β）的值，再由兩角差的余弦公式可得cosβ
=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，運算求得結果．

解答：解：∵0＜α＜

π

2

，∴cosα=

1-sin2α

=

5

13

．…（2分）
又∵0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，
∴0＜α+β＜π．…（4分）
若0＜α+β＜

π

2

，∵sin（α+β）＜sinα，∴α+β＜α不可能．
故

π

2

＜α+β＜π．
∴cos（α+β）=-

3

5

．…（6分）
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=-

3

5

•

5

13

+

4

5

•

12

13

=

33

65

，…（10分）
∵0＜β＜

π

2

，
∴0＜

β

2

＜

π

4

．
故cos

β

2

=

1+cosβ 2

=

7 65

65

．…（13分）

點評：本題主要考查兩角差的余弦公式，同角三角函數的基本關系，半角公式的應用，屬于中檔題．