Question

設函數.

（1）當時，求函數在區間內的最大值；

（2）當時，方程有唯一實數解，求正數的值.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先求出導數方程的根，對此根與區間的位置關系進行分類討論，確定函數在區間上的單調性，從而求出函數在區間上的最大值；（2）構造函數，

利用導數求出函數的極值點，并確定函數的單調性，得到，消去并化簡得到，通過構造函數并利用導數研究函數的單調性并結合，得到，從而求出的值.

（1），，

令得. 因為時，，時，，

所以在遞增，在遞減；

①當時，即時，在上遞減，

所以時取最大值；

②當時，即時，在遞增，在遞減，

所以時，取最大值；

③當即時，在遞增，

所以時取最大值；

（2）因為方程有唯一實數解，即有唯一實數解，

設，則，

令，，因為，，

所以（舍去），，

當時，，在上單調遞減，

當時，，在上單調遞增，

所以最小值為，

則，即，

所以，即，

設，

，恒成立，故在單調遞增，

至多有一解，

又，所以，即，解得.

考點：1.分類討論；2.函數的最值；3.函數的零點