Question

設函數f(x)=(1+x)²-ln(1+x)².

(1)求函數f(x)的單調區間;

(2)當x∈［-1,e-1］時，不等式f(x)＜m恒成立,求實數m的取值范圍;

(3)關于x的方程f(x)=x²+x+a在［0,2］上恰有兩個相異實根，求實數a的取值范圍.（e為自然常數，約等于2.718 281 828 459）

Answer 1

解:(1)函數定義域為(-∞,-1)∪(-1,+∞),∵f′(x)=2［(x+1)］=,

由f′(x)＞0,得-2＜x＜-1或x＞0;由f′(x)＜0,得x＜-2或-1＜x＜0,

則遞增區間是(-2,-1),(0,+∞),遞減區間是(-∞,-2),(-1,0).

(2)由f′(x)==0,得x=0或x=-2.

由（1）知,f(x)在［-1,0］上遞減,在［0,e-1］上遞增.

又f(-1)=+2,f(e-1)=e²-2,且e²-2＞+2,∴x∈［-1,e-1］時,［f(x)］_max=e²-2,

故m＞e²-2時,不等式f(x)＜m恒成立.

(3)方程f(x)=x²+x+a,即x-a+1-ln(1+x)²=0.記g(x)=x-a+1-ln(1+x)²,

則g′(x)=1=.由g′(x)＞0,得x＜-1或x＞1,由g′(x)＜0,得-1＜x＜1.

∴g(x)在［0,1］上遞減,在［1,2］上遞增.

為使f(x)=x²+x+a在［0,2］上恰好有兩個相異的實根,只需g(x)=0在［0,1)和(1,2］上各有一個實根,于是有解得2-2ln2＜a≤3-2ln3.