Question

設數列{a_n}是有窮等差數列，給出下面數表：上表共有n行，其中第1行的n個數為a₁，a₂，a₃，…，a_n，從第二行起，每行中的每一個數都等于它肩上兩數之和．記表中各行的數的平均數（按自上而下的順序）分別為b₁，b₂，…，b_n．
（1）求證：數列b₁，b₂，…，b_n成等比數列；
（2）若a_k=2k-1（k=1，2，…，n），求和

n

k=1

akbk．

Answer 1

分析：（1）要證數列b₁，b₂，…，b_n成等比數列，只需證

bk+1

bk

為常數即可，所以用數列{a_n}中的項表示{b_n}中項，再求

bk+1

bk

．
（2）先由（1）和a_k=2k-1（k=1，2，…，n），求數列{b_n}的通項公式，再代入

n

k=1

akbk，再用裂項相消求和即可．

解答：解：（1）由題設易知，b1=

n(a1+an)

2n

=

a1+an

2

，b2=

(a1+a2+…+an-1+an)(n-1)

2(n-1)

=

a1+a2+an-1+an

2

=a1+an．
設表中的第k（1≤k≤n-1）行的數為c₁，c₂，…，c_n-k+1，顯然c₁，c₂，…，c_n-k+1成等差數列，則它的第k+1行的數是c₁+c₂，c₂+c₃，…，c_n-k+c_n-k+1也成等差數列，它們的平均數分別是bk=

c1+cn-k+1

2

，b_k+1=c₁+c_n-k+1，于是

bk+1

bk

=2(1≤k≤n-1，k∈N*)．
故數列b₁，b₂，…，b_n是公比為2的等比數列．
  （2）由（1）知，bk=b1 • 2k-1=

a1+an

2

 • 2k-1，
故當a_k=2k-1時，b_k=n•2^k-1，a_k•b_k=n（2k-1）•2^k-1（1≤k≤n，k∈N^*）．
于是

n

k=1

akbk=n

n

k=1

(2k-1) • 2k-1．
設

n

k=1

(2k-1) • 2k-1=S，
則S=1×2⁰+3×2¹+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1①2S=1×2¹+3×2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ②
①-②得，-S=1×2⁰+2（2¹+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，
化簡得，S=（2n-1）•2ⁿ-2ⁿ⁺¹+3，
故

n

k=1

akbk=n（2n-1）•2n-n•2ⁿ⁺¹+3n．

點評：本題考查了等比數列的證明，以及裂項相消求和，做題時需認真觀察，找出正確方法．