Question

設數列{a_n}是有窮等差數列，給出下面數表：

上表共有n行，其中第1行的n個數為a₁，a₂，a₃…a_n，從第二行起，每行中的每一個數都等于它肩上兩數之和．記表中各行的數的平均數（按自上而下的順序）分別為b₁，b₂，b₃…b_n． （1）求證：數列b₁，b₂，b₃…b_n成等比數列；
（2）若a_k=2k﹣1（k=1，2，…，n），求和．

Answer 1

（1）證明：由題設易知，=，
=．
設表中的第k（1≤k≤n﹣1）行的數為c₁，c₂…c_n﹣k+1，顯然c₁，c₂…c _n﹣k+1，成等差數列，
則它的第k+1行的數是c₁+c₂，c₂+c₃…c _n﹣k+c _n﹣k+1也成等差數列，
它們的平均數分別是，
b _k+1=c₁+c _n﹣k+1，
于是（1≤k≤n﹣1，k∈N*）．
故數列b₁，b₂…b_n是公比為2的等比數列．
（2）由（1）知，=，
故當a_k=2k﹣1時，，．
于是n．         
設，則S=1×2⁰+3×2¹+5×2²+…+（2n﹣1）×2 ^n﹣1  ①
2S=12+3×2²+…+（2n﹣3）×2 ^n﹣1+（2n﹣1）×2ⁿ   ②
①﹣②得，﹣S=1×2⁰+2（2+2²+…+2 ^n﹣1）﹣（2n﹣1）2ⁿ，
化簡得，S=（2n﹣1）2ⁿ﹣2 ⁿ⁺¹+3，
故=n（2n﹣1）×2n﹣n×2 ⁿ⁺¹+3n．