Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是有窮等差數(shù)列，給出下面數(shù)表：
a₁　 a₂    a₃     …a_n-1　　a_n 第1行
a₁+a₂  　a₂+a₃  　…a_n-1+a_n 　第2行
…
…
…第n行
上表共有n行，其中第1行的n個(gè)數(shù)為a₁，a₂，a₃…a_n，從第二行起，每行中的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩數(shù)之和．記表中各行的數(shù)的平均數(shù)（按自上而下的順序）分別為b₁，b₂，b₃…b_n．
（1）求證：數(shù)列b₁，b₂，b₃…b_n成等比數(shù)列；
（2）若a_k=2k-1（k=1，2，…，n），求和

n

k=1

akbk．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)易知，b₁=

a1+an

2

，b₂=a₁+a_n，容易得bk=

c1+cn-k+1

2

，b_k+1=c₁+c_n-k+1，于是

bk+1

bk

=2，可證明
（2）由（1）求，bk=b1•2k-1=

a1+a2

2

•2k-1，則a_k=2k-1時(shí)，a_kb_k=（2k-1）•2^k-1，利用錯(cuò)位相減可求數(shù)列的和

解答：（1）證明：由題設(shè)易知，b1=

n(a1+an)

2n

=

a1+an

2

，
b2=

(n-1)(a1+a2+…+ an)

2(n-1)

=

a1+a2+…+an

2

=a1+an．
設(shè)表中的第k（1≤k≤n-1）行的數(shù)為c₁，c₂…c_n-k+1，顯然c₁，c₂…c_n-k+1，成等差數(shù)列，則它的第k+1行的數(shù)是c₁+c₂，c₂+c₃…c_n-k+c_n-k+1也成等差數(shù)列，它們的平均數(shù)分別是bk=

c1+cn-k+1

2

，b_k+1=c₁+c_n-k+1，于是

bk+1

bk

=2（1≤k≤n-1，k∈N^*）．
故數(shù)列b₁，b₂…b_n是公比為2的等比數(shù)列．（7分）
（2）由（1）知，bk=b1•2k-1=

a1+a2

2

•2k-1，
故當(dāng)a_k=2k-1時(shí)，bk=n•2k-1，akbk=n(2k-1)•2k-1．
于是

n

k=1

akbkn

n

k=1

(2k-1)•2k-1． 　　　　　　　　　　　（9分）
設(shè)S=

n

k=1

(2k-1)•2k-1，
則S=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1①
2S=1•2+3×2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ②
①-②得，-S=1×2⁰+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，
化簡得，S=（2n-1）•2ⁿ-2ⁿ⁺¹+3，
故

n

k=′1

akbk=n（2n-1）•2n-n•2ⁿ⁺¹+3n．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的定義在等比數(shù)列的證明中的應(yīng)用，錯(cuò)位相減求解數(shù)列的和，解題的關(guān)鍵需要由已只條件中的信息提煉出相關(guān)的遞推關(guān)系