Question

已知函數(shù)f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)，x∈[

π

4

，

π

2

]
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）若不等式f（x）-m＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)x的范圍求出2x-

π

3

的范圍，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)f（x）的最大值和最小值．
（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 f（x）＜m+2對(duì)x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立的問(wèn)題，只要函數(shù)f（x）在x∈[

π

4

，

π

2

]的最大值小于m+2即可，然后求出函數(shù)f（x）在x∈[

π

4

，

π

2

]的最大值，進(jìn)而可求得m的范圍．

解答：解：（1）

π

4

≤x≤

π

2

∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2

3

π
當(dāng)2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5

12

π時(shí)，f（x）_max=3
當(dāng)2x-

π

3

=

π

6

，即x=

π

4

時(shí)，f（x）_min=2
（2）由條件可知 f（x）＜m+2對(duì)x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立
又當(dāng)x∈[

π

4

，

π

2

]時(shí)，f（x）_max=3
∴m+2＞3
∴m＞1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的最值和恒成立問(wèn)題．三角函數(shù)的公式比較多，基礎(chǔ)知識(shí)比較散比較多，平時(shí)要注意多積累多練習(xí)．