Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，對于任意的n≥2，恒有S_n=2S_n-1+n，（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n
（2）若cn=

1

an+1-n-1

，證明：c1+c2+…+cn＜

23

12

•．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式，再寫一式，兩式相減，可得數列{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數列，從而可求數列的通項；
（2）確定c_n的表達式，利用二項式定理進行放縮，再用裂項法求和，即可證得結論；也可以利用數學歸納法證明當n≥2時，總有2ⁿ≥n+2，從而可得結論．

解答：（1）解：當n≥2時，S_n=2S_n-1+n，又S_n+1=2S_n+n+1，
兩式相減得：a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁=1，S₂=2S₁+2，得a₂=3，滿足a₂+1=2（a₁+1），
∴數列{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，2為公比的等比數列．
∴an+1=2•2n-1=2n，∴an=2n-1，n∈N*．
（2）證明：由（1）可知∴an=2n-1，n∈N*，∴an+1=2n+1-1
由cn=

1

an+1-n-1

=

1

2n+1-n-2

因為2n+1-n-2=(1+1)n+1-n-2=

C

0 n+1

+

C

1 n+1

+

C

2 n+1

+…

C

n+1 n+1

-n-2≥

C

0 n+1

+

C

1 n+1

+

C

2 n+1

-n-2=

(n+1)n

2

故cn=

1

2n+1-n-2

≤

1

n(n+1) 2

=

2

n

-

2

n+1

，
由c1=1＜

23

12

；c1+c2=1+

1

4

=

5

4

＜

23

12

當n≥3時，c1+c2+…+cn=1+

1

4

+2(

1

3

-

1

4

)+2(

1

4

-

1

5

)+…2(

1

n

-

1

n+1

)=

5

4

+2(

1

3

-

1

n+1

)＜

5

4

+

2

3

=

23

12

則不等式成立．
另解：cn=

1

an+1-n-1

=

1

2n+1-n-2

2ⁿ⁺¹-n-2=2ⁿ+（2ⁿ-n-2），當n≥2時，總有2ⁿ≥n+2（用數學歸納法證明，略）
當n=1，c₁=1＜2
則n≥2時，cn=

1

2n+1-n-2

=

1

2n+(2n-n-2)

≤

1

2n

故c1+c2+…+cn≤

1

1

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…(

1

2

)n=1+

1 4 (1-( 1 2 )n-1)

1- 1 2

=1+

1

2

-(

1

2

)n＜

3

2

＜

23

12

則不等式成立．

點評：本題考查數列的通項，考查等比數列的證明，考查數列與不等式的綜合，考查裂項法求數列的和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．