Question

設正四面體ABCD的所有棱長都為1米，有一只螞蟻從點A開始按以下規則前進：在每一個頂點處等可能的選擇通過這個頂點的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，則它爬了4米之后恰好位于頂點A的概率為

 

．

Answer 1

分析：本題是一個等可能事件的概率，設這個四面體的四個頂點分別為ABCD，如果爬到第三次時，螞蟻在A點，第四次一定不在A點，設螞蟻第三次在A點的概率為X，那么最后的答案就是

(1-X)

3

，以此類推螞蟻第一次爬完之后在A點的概率為0，得到結果．

解答：解：由題意知本題是一個等可能事件的概率，
假設這個四面體的四個頂點分別為ABCD，螞蟻從A開始爬．
如果爬到第三次時，螞蟻在A點，那么第四次就一定不在A點，
∴設螞蟻第三次在A點的概率為X，那么最后的答案就是

(1-X)

3

①
設螞蟻第二次在A點的概率為Y，那么最后的概率就是X=

1-Y

3

    ②
顯然螞蟻第一次爬完之后在A點的概率為0，那么 Y=

1-0

3

③
將③代入②，得X=

1- 1 3

3

=

2

9

④
將④代入①得P=

1- 2 9

3

=

7

27

故答案為：

7

27

點評：本題考查等可能事件的概率，考查用方程思想解決概率的實際問題，本題是一個比較好的題目，題目的解法不是一個常規解法，需要認真分析．