Question

設等邊△ABC的邊長為a，P是△ABC內的任意一點，且P到三邊AB，BC，CA的距離分別為d₁，d₂，d₃，則有d₁+d₂+d₃為定值

3

2

a；由以上平面圖形的特性類比空間圖形：設正四面體ABCD的棱長為a，P是正四面體ABCD內的任意一點，且P到四個面ABC、ABD、ACD、BCD的距離分別為d₁，d₂，d₃，d₄，則有d₁+d₂+d₃+d₄為定值

 

．

Answer 1

分析：這是一個升維類比，線類比為面，點到直線的距離類比為點到平面的距離，面積類比為體積即可．

解答：解：由于等邊△ABC的邊長為a，P是△ABC內的任意一點，且P到三邊AB，BC，CA的距離分別為d₁，d₂，d₃，則有d₁+d₂+d₃為定值

3

2

a；
證明如下：如圖，△ABC是等邊三角形，點P是等邊三角形內部任一點．
S_△APB=

1

2

a•PE，S_△CPB=

1

2

a•PE，S_△APC=

1

2

a•PG，
于是S_△APB+S_△CPB+S_△APC=

1

2

a•PE+

1

2

a•PF+

1

2

a•PG，
即

1

2

a•PE+

1

2

a•PF+

1

2

a•PG=S，
PE+PF+PG=

2S

a

，為定值．
即d₁+d₂+d₃=

2S

a

，為定值．
由線類比為面，點到直線的距離類比為點到平面的距離，面積類比為體積得到：
有d₁+d₂+d₃+d₄為定值

6

3

a．
故答案為：

6

3

a．

點評：升維類比是一種比較重要的類比方式，要掌握好其類比規則，對于類比還有一點要注意，那就是類比的結論不一定是正確的