Question

如圖，三棱柱中，所有棱長均為2，，，平面⊥平面，分別是上的中點．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的大小．

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）證明線面平行常用方法：一是利用線面平行的判定定理，二是利用面面平行的性質定理，三是利用面面平行的性質；（2）證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質定理；三是平行線法（若兩條平行線中的一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面．解題時，注意線線、線面與面面關系的相互轉化；(3）空間向量將空間位置關系轉化為向量運算，應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當的坐標系，實施幾何問題代數化．同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質定理條件要完備．

試題解析：【解析】
（1）方法一：如圖取中點，取中點，連結

則，且，同理，且

故，且

所以四邊形是平行四邊形， 3分

，又平面，GH平面

平面 5分

方法二：如圖，取中點，連結

則，又平面，平面

平面 2分

同理可證平面，又

故平面平面 4分

又平面

故平面 5分

（2）方法一：如（1）方法二所示，取中點，則，

又平面⊥平面，且平面，故平面 7分

從而在平面上的射影為，

故就是直線與平面所成的角． 9分

又,,從而

故， 12分

故直線與平面所成的角等于 13分

方法二：依題意，且平面，平面⊥平面，故平面

從而，又，故分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系． 7分

，同理可得故 8分

取平面的法向量為， 9分

設直線與平面所成角為

則， 11分

又

從而直線與平面所成角為 13分

考點：1、直線與平面平行的判斷；2、直線與平面所成的角；3、空間向量在立體幾何的應用．