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已知：
OP
=
OA
+λ(
AB
|A
•
B
|sinB
+
AC
|A
•
C
|sinC
)，λ∈（0，+∞），則點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的（　　）
A、內(nèi)心B、外心C、垂心D、重心
分析：法一：作出如圖的三角形AD⊥BC，可以得出 |
AB
|sinB=|
AC
|sinC=AD，由此對已知條件變形即可得出結(jié)論；
法二：將 |
AB
|sinB=|
AC
|sinC提取出來，轉(zhuǎn)化成λt（
AB
+
AC
），而λt（
AB
+
AC
）表示與
AD
共線的向量，點D是BC的中點，故P的軌跡一定通過三角形的重心．
解答：精英家教網(wǎng)解：法一：作出如圖的圖形AD⊥BC，由于 |
AB
|sinB=|
AC
|sinC=AD，
∴
OP
=
OA
+λ(
AB
|
AB
|sinB
+
AC
|
AC
|sinC
)=
OA
+
λ
|AD|
(
AB
+
AC
)
由加法法則知，P在三角形的中線上
故動點P的軌跡一定通過△ABC的重心；
法二：
∵|
AB
|sinB=|
AC
|sinC設(shè)它們等于
1
t

精英家教網(wǎng)∴
OP
=
OA
+λt（
AB
+
AC
）
而
AB
+
AC
=2
AD

λt（
AB
+
AC
）表示與
AD
共線的向量
AP

而點D是BC的中點，所以即P的軌跡一定通過三角形的重心．
故選D．
點評：本題考點是三角形的五心，考查了五心中重心的幾何特征以及向量的加法與數(shù)乘運算，解答本題的關(guān)鍵是理解向量加法的幾何意義，從而確定點的幾何位置．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
OP
=（2，1），
OA
=（1，7），
OB
=（5，1），設(shè)X是直線OP上的一點（O為坐標原點），那么
XA
•
XB
的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
OP
=(2，1)，
OA
=(1，7)，
OB
=(5，1)，設(shè)M是直線OP上任意一點（O為坐標原點），則
MA
•
MB
的最小值為（　　）
A、-8
B、
5
C、5
2
D、8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面向量
OA
=(1，4)，
OB
=(-1，6)，向量
OP
=2λ
OA
+2(1-λ) 
OB
，λ∈R，O為坐標原點，
（1）求當(dāng)
OP
⊥
AB
時，
OP
的坐標；
（2）當(dāng)|
OP
|取最小值時，求
OP
與
AB
的夾角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面向量
OA
與
OB
的夾角θ∈[60°，120°]，且|
OA
|=|
OB
|=3，若
OP
=
1
3
OA
+
2
3
OB
，則
|OP|
的取值范圍是
[
3
，
7
]
[
3
，
7
]
．

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