Question

已知平面向量

OA

與

OB

的夾角θ∈[60°，120°]，且|

OA

|=|

OB

|=3，若

OP

=

1

3

OA

+

2

3

OB

，則

|OP|

的取值范圍是

[

3

，

7

]

．

Answer 1

分析：根據(jù)向量

OA

與

OB

的模長和夾角的范圍，結(jié)合數(shù)量積公式得

OA

•

OB

的取值范圍．再將向量

OP

平方，由數(shù)量積

OA

•

OB

的取值范圍得

OP

²的范圍，最后開方即可得到，

|OP|

的取值范圍．

解答：解：∵

OA

•

OB

=

|OA|

•

|OB|

cosθ=9cosθ，cosθ∈[cos120°，cos60°]，
∴

OA

•

OB

的取值范圍是[-

9

2

，

9

2

]
∵

OP

=

1

3

OA

+

2

3

OB

，
∴

|OP|

2=(

1

3

OA

+

2

3

OB

)2=

1

9

OA

2+

4

9

OA

•

OB

+

4

9

OB

2=1+

4

9

OA

•

OB

+4=5+

4

9

OA

•

OB

∵

OA

•

OB

∈[-

9

2

，

9

2

]，
∴當

OA

•

OB

=-

9

2

時，

|OP|

2有最小值3；當

OA

•

OB

=

9

2

時，

|OP|

2有最大值7
因此，

|OP|

的最小值是

3

，最大值為

7

故答案為：[

3

，

7

]

點評：本題給出兩個向量的長度和夾角的范圍，求它們的一個線性組合的長度取值范圍，考查了平面向量數(shù)量積、模與夾角的公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．