Question

已知實數a≠0，函數f（x）=ax（x-2）²（x∈R）．
（Ⅰ）若f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線與直線27x+y-8=0平行，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若對任意x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

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9

恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）欲求函數f（x）的極值，只須求出a值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而可求出a值，先求出f（x）的導數，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，求出極值．
（II）題中條件：“對任意x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

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恒成立”應用是解題的關鍵，須對字母a進行討論：a＜0和a＞0．再分別求出函數f（x）的最大值，最后讓最大值小于

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，得到a的不等式即可解得實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax（x-2）²=ax³-4ax²+4ax，
∴f′(x)=3ax2-8ax+4a=3a(x-

2

3

)(x-2)．
∴f′（1）=-a=-27，得a=27
∴f（x）=27x（x-2）²（x∈R）（2分）
令fn（x）=0得(x-

2

3

)(x-2)=0，
∴x=

2

3

或x=2．
又函數f（x）在(-∞，

2

3

)上為增函數，
在(

2

3

，2)上為減函數，
在（2，+∞）上為增函數． （4分）
∴f（x）在x=

2

3

時取得極大值，f(

2

3

)=32．
在x=2時取得極小值f（2）=0；（6分）
（Ⅱ）由f′(x)=3a(x-

2

3

)(x-2)，知
當a＞0時，函數f（x）在[-2，

2

3

]上是增函數，
在[

2

3

，1]上是減函數．
此時，ymax=f(

2

3

)=

32

27

a．
又對?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

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9

恒成立．
∴

32

27

a＜

16

9

，得a＜

3

2

，
∴0＜a＜

3

2

． （9分）
當a＜0時，函數f（x）在[-2，

2

3

]上是減函數，
在[

2

3

，1]上是增函數．
又f（-2）=-32a，f（1）=a，此時，y_max=f（-2）=-32a．
又對?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

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恒成立．
∴-32a＜

16

9

得a＞-

1

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，∴-

1

18

＜a＜0．
故所求實數的取值范圍是(-

1

18

，0)∪(0，

3

2

)． （12分）

點評：本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數求閉區間上函數的最值、兩條直線平行的判定等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．