Question

已知實數a≠0，函數f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有極大值32，則實數a的值為

 

．

Answer 1

分析：先對函數f（x）進行求導，然后令導函數等于0求出x值，然后根據f'（x）=ax（x-2）²有極大值32，排除x=2，確定當x=

2

3

時，f（x）有極大值32，代入即可得到答案．

解答：解：f（x）=ax³-4ax²+4ax，
所以f′（x）=3ax²-8ax+4a=a（3x-2）（x-2）．
令f′（x）=0，得x=

2

3

或x=2．
因為f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有極大值32．
而當x=2時，f（2）=0，
所以當x=

2

3

時，f（x）有極大值32．
即

2

3

a(

2

3

-2)2=32，a=27．
故答案為：27

點評：本題主要考查函數的極值與其導函數之間的關系，即當函數取到極值時一定有導函數等于0，反之不一定成立．