Question

函數f(x)=(

1

3

)x-sinx在區間[0，2π]上的零點個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：分別討論函數y=sinx與y=(

1

3

)x的單調性與最值，可得f(x)=(

1

3

)x-sinx滿足f（0）=1＞0，f（

π

2

）＜0，f（π）=(

1

3

)π＞0，當x∈（π，2π]時，f（x）＞0恒成立．由此即可得到函數f（x）在區間（0，

π

2

）和（

π

2

，π）上分別有一個零點．

解答：解：∵函數y=sinx在（0，

π

2

）、（

3π

2

，2π）上是增函數，在（

π

2

，

3π

2

）上是減函數
sin0=sin2π=0，sin

π

2

=1，sin

3π

2

=-1
∴函數y=sinx在x=

π

2

有最大值1，在x=

3π

2

處有最小值為-1
又∵y=(

1

3

)x在區間[0，2π]上為減函數，
∴y=(

1

3

)x在x=0處有最大值為1，在x=2π處有最小值(

1

3

)2π∈(0，

1

36

)
而f(x)=(

1

3

)x-sinx滿足f（0）=1＞0，f（

π

2

）＜0，f（π）=(

1

3

)π＞0，當x∈（π，2π]時，f（x）＞0恒成立
綜合以上信息，可得函數f(x)=(

1

3

)x-sinx在區間[0，2π]上有兩個零點，分別位于（0，

π

2

）和（

π

2

，π）
故選：B

點評：本題給出含有三角函數和指數的函數，討論函數在區間[0，2π]上的零點個數．著重考查了函數的圖象與性質、基本初等函數的單調性與最值等知識，屬于中檔題．