Question

對于函數f(x)=

1

3

|x|3-ax2+(2-a)|x|+b，若f（x）有六個不同的單調區間，則a的取值范圍為

（1，2）

．

Answer 1

分析：由題意可知，f（x）為偶函數，當x＞0時，f（x）有三個不同的單調區間，利用其導函數與x正半軸有兩交點即可求得a的取值范圍．

解答：解：∵f（-x）=

1

3

|-x|³-a（-x）²+（2-a）|-x|+b=

1

3

|x|³-ax²+（2-a）|x|=f（x），
∴f（x）為偶函數，又f（x）有六個不同的單調區間，
∴當x＞0時，f（x）=

1

3

x³-ax²+（2-a）x+b有三個不同的單調區間，
∴f′（x）=x²-2ax+2-a與x正半軸有兩交點，即x²-2ax+2-a=0有兩異正根，
∴

△=4a2-4(2-a)＞0 2a＞0 2-a＞0

，解得1＜a＜2．
故答案為：1＜a＜2．

點評：本題考查帶絕對值的函數，考查利用導數研究函數的單調性，明確當x＞0時，f（x）有三個不同的單調區間，是解決問題的關鍵，突出轉化思想與函數與方程思想的考查運用，屬于難題．