Question

對于函數f(x)=1-2cos2(x+

π

4

)-

3

cos2x，給出下列四個命題：
（1）函數在區間[

5π

12

，

11π

12

]上是減函數；
（2）直線x=

π

6

是函數圖象的一條對稱軸；
（3）函數f（x）的圖象可由函數y=2sin2x的圖象向右平移

π

3

而得到；
（4）若 R，則f（x）=f（2-x），且的值域是[-

3

，2]．
其中正確命題的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由三角函數的恒等變換，把f(x)=1-2cos2(x+

π

4

)-

3

cos2x等價轉化為f（x）=2sin（2x-

π

3

），由此能求出結果．

解答：解：∵f(x)=1-2cos2(x+

π

4

)-

3

cos2x
=-cos（2x+

π

2

）-

3

cos2x
=sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

），
所以：f（x）的減區間滿足：

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
解得f（x）的減區間是[

5

12

π+kπ，

11π

12

+kπ]，k∈Z，
故函數在區間[

5π

12

，

11π

12

]上是減函數，即（1）正確；
f（x）的對稱軸方程滿足：2x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，
即x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z，
故直線x=

π

6

不是函數圖象的一條對稱軸，即（2）不正確；
函數y=2sin2x的圖象向右平移

π

3

得到y=2sin（2x-

2π

3

）≠2sin（2x-

π

3

），故（3）不正確；
f（x）≠f（2-x），故（4）不正確．
故選A．

點評：本題考查命題的真假判斷的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化和三角函數的合理運用．