Question

在圓x²+y²-2x-6y=0內，過點E（0，1）的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為

10

2

．

Answer 1

分析：根據圓的標準方程求出圓心M的坐標和半徑，最長的弦即圓的直徑，故AC的長為2

10

，最短的弦BD和ME垂直，且經過點E，由弦長公式求出BD的值，再由ABCD的面積為

1

2

AC×BD 求出結果．

解答：解：圓x²+y²-2x-6y=0 即 （x-1）²+（y-3）²=10 表示以M（1，3）為圓心，以

10

為半徑的圓．
由圓的弦的性質可得，最長的弦即圓的直徑，AC的長為2

10

．
∵點E（0，1），∴ME=

1+4

=

5

．
弦長BD最短時，弦BD和ME垂直，且經過點E，此時，BD=2

MB2-ME2

=2

10-5

=2

5

．
故四邊形ABCD的面積為

1

2

AC×BD=10

2

，
故答案為 10

2

．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，兩點間的距離公式，弦長公式的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．