Question

點P（x，y）在圓x²+y²-2x-2y+1=0上，則

y+1

x+1

的最小值為

1

3

．

Answer 1

分析：由

y+1

x+1

=

y-(-1)

x-(-1)

表示圓上任一點（x，y）與（-1，-1）確定的直線的斜率，故過A的直線與圓B相切時，切點為C，即圓B上的點C與A確定的直線斜率最小，設出直線AC的斜率為k，由A的坐標和k表示出直線AC的方程，根據圓心B到直線AC的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，即為AC的斜率，即為所求式子的最小值．

解答：解：把圓的方程化為標準方程得：（x-1）²+（y-1）²=1，
可得圓心坐標為（1，1），半徑r=1，

由

y+1

x+1

=

y-(-1)

x-(-1)

，得到此式子表示圓上任一點（x，y）與（-1，-1）確定的直線的斜率，
當過A的直線與圓B相切時，切點為點C，設直線AC的斜率為k，
∴直線AC的方程為：y+1=k（x+1），即kx-y+k-1=0，
∴圓心B（1，1）到直線AC的距離d=r，即

|2k-2|

k2+1

=1，
解得：k=

1

3

或k=3（舍去），
∴此時直線AC的斜率范圍為[

1

3

，3]，
則

y+1

x+1

的最小值

1

3

．
故答案為：

1

3

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，直線斜率的求法，利用了數形結合的思想，其中得出所求式子表示圓上任一點（x，y）與（-1，-1）確定的直線的斜率是解本題的關鍵．