Question

已知點P（x，y）在直線x+2y=3上移動，當2^x+4^y取得最小值時，過點P（x，y）引圓(x-

1

2

)2+(y+

1

4

)2=

1

2

的切線，則此切線段的長度為（　　）

• A、1
• B、

  3

  2

• C、

  1

  2

• D、

  6

  2

Answer 1

分析：要求切線段的長度，利用直角三角形中半徑已知，P與圓心的距離未知，所以根據基本不等式求出P點的坐標，然后根據兩點間的距離公式求出即可．

解答：解：利用基本不等式及x+2y=3得：2^x+4^y≥2

2x•4y

=2

2x+2y

=4

2

，當且僅當2^x=4^y=2

2

取得最小值，即x=

3

2

，y=

3

4

，
所以P（

3

2

，

3

4

），根據兩點間的距離公式求出P到圓心的距離=

( 3 2 - 1 2 )2+( 3 4 + 1 4 )2

=

2

．且圓的半徑的平方為

1

2

，
然后根據勾股定理得到此切線段的長度=

( 2 )2- 1 2

=

6

2

故選D．

點評：考查學生會利用基本不等式求函數的最值，會利用兩點間的距離公式求線段長度，會利用勾股定理求直角的三角形的邊長．此題是一道綜合題，要求學生掌握知識要全面．