Question

（本小題滿分12分）
已知（,0），（1,0），的周長為6.
（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；
（II）試確定的取值范圍，使得軌跡上有不同的兩點、關于直線對稱.

Answer 1

（Ⅰ）（）；
（II）當時，橢圓上存在關于對稱的兩點。

本試題主要是考查了橢圓方程的求解，以及直線與橢圓的位置關系的運用。
（1）因為已知（,0），（1,0），的周長為6.
則動點的軌跡的方程；根據橢圓的定義知，的軌跡是以，為
焦點，長軸長為4的橢圓。
（2）要使得軌跡上有不同的兩點、關于直線對稱.
假設橢圓上存在關于對稱的兩點，。
設，直線與橢圓聯立方程組，結合又的中點在上得到范圍。
解：（Ⅰ）根據橢圓的定義知，的軌跡是以，為
焦點，長軸長為4的橢圓。
∴，　∴
故的軌跡方程為（）
（II）解法1：假設橢圓上存在關于對稱的兩點，。
設
由　得　
由得
∵　∴
又的中點在上
∴　∴　∴
∴，即
故當時，橢圓上存在關于對稱的兩點。
解法2：設，是橢圓上關于對稱的兩點，的中點為，則
　　
①－②各得　即
∴
又點在直線上
∴　即，
而在橢圓內，
∴　　∴
∴當時，橢圓上存在關于對稱的兩點。