Question

設a=,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a·b.

（1）求函數f(x)的解析式；

（2）已知常數＞0，若y=f(x)在區間上是增函數，求的取值范圍；

（3）設集合A=，B={x||f(x)-m|＜2},若AB，求實數m的取值范圍.

Answer 1

（1）f(x)=2sinx+1（2）∈（3）m∈（1，4）

解析:

（1）f(x)=sin²·4sinx+(cosx+sinx)·(cosx-sinx)

=4sinx·+cos2x

=2sinx(1+sinx)+1-2sin²x=2sinx+1,

∴f(x)=2sinx+1.

（2）∵f(x)=2sinx+1,＞0.

由2k-≤x≤2k+,

得f(x)的增區間是,k∈Z.

∵f（x）在上是增函數，

∴.

∴-≥且≤,∴∈.

（3）由|f(x)-m|＜2,得-2＜f(x)-m＜2,即f(x)-2＜m＜f(x)+2.

∵AB，∴當≤x≤時，不等式f(x)-2＜m＜f(x)+2恒成立.

∴f（x）_max-2＜m＜f(x)_min+2,

∵f(x)_max=f()=3,f(x)_min=f()=2,∴m∈（1，4）.