Question

在某海濱城市附近海面上有一臺風，據監測，當前臺風中心位于城市O的東偏南方向300 km的海面P處，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移動，臺風侵襲的范圍為圓形區域，當前半徑為60 km，并以10 km/h的速度不斷增大，問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？受影響達多少小時？

Answer 1

答案：
解析：

解：如圖，設在t小時后臺風中心在Q點，此時臺風侵襲的圓形區域半徑為10t＋60(km)． 　　若在此刻城市O受到臺風的影響，則OQ≤10t＋60． 　　由余弦定理，知OQ2＝PQ2＋PO2－2PQ·POcos∠OPQ． 　　由PO＝300，PQ＝20t， 　　cos∠OPQ＝cos(－45°)＝coscos45°＋sinsin45° 　　． 　　∴OQ2＝(20t)2＋3002－2×20t×300×＝202t2－9600t＋3002． 　　∴202t2－9600t＋3002≤(10t＋60)2． 　　整理，得t2－36t＋288≤0．解得12≤t≤24． 　　∴12小時后該城市開始受到臺風的侵襲，受影響達12小時． 　　思路分析：設t小時后臺風中心在Q，此時城市O受到臺風影響，即此時O在臺風侵襲的圓形區域內，注意臺風在行進過程中，其半徑在不斷地增大，連結OQ，把問題放到△OPQ中，利用正弦、余弦定理解三角形即可．