Question

橢圓的離心率為，兩焦點分別為，點M是橢圓C上一點，的周長為16，設線段MO（O為坐標原點）與圓交于點N，且線段MN長度的最小值為.
（1）求橢圓C以及圓O的方程；
（2）當點在橢圓C上運動時，判斷直線與圓O的位置關系.

Answer 1

（1），
（2）直線l與圓O相交.

試題分析：解：（1）設橢圓C的半焦距為c，則，即①          1分
又   ②            3分
聯立①②，解得，所以.
所以橢圓C的方程為.                     5分
而橢圓C上點與橢圓中心O的距離為
，等號在時成立   7分，
而，則的最小值為，從而，則圓O的方程為.                              9分
（2）因為點在橢圓C上運動，所以.即.
圓心O到直線的距離.     12分
當，，則直線l與圓O相交.               14分
點評：主要是考查了橢圓的方程以及直線與圓的位置關系的運用，屬于中檔題。