Question

已知橢圓過點，其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數列．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若直線與軸正半軸、軸分別交于點，與橢圓分別交于點，各點均不重合，且滿足，． 當時，試證明直線過定點．過定點（1，0）

Answer 1

（1）
（2）結合向量關系式，以及韋達定理，來分析直線的方程，進而得到定點坐標。

試題分析：解：（Ⅰ）設橢圓的焦距為                        1分
由題意知，且又
所以橢圓方程為.　　　　　　　　                           4分
（Ⅱ）由題意設的方程為       5分
由知6分
同理由知
∵，∴　　　（1）　　　         7分
聯立得，                          8分
只需　　  （2）
且有　　　　 （3）　　　　                 9分
把（3）代入（1）得且滿足（2），              10分
依題意，，故
從而的方程為，即直線過定點（1，0）                              12分
點評：主要是考查了直線與橢圓的位置關系的運用，代數法來設而不求的解題思想是解析幾何的本質，屬于中檔題。