Question

設f(x)=

-2x+a

2x+1+b

（a，b為實常數）．
（1）當a=b=1時，證明：f（x）不是奇函數；
（2）設f（x）是實數集上的奇函數，求a與b的值；
（3）（理） 當f（x）是實數集上的奇函數時，證明對任何實數x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．
（4）（文）求（2）中函數f（x）的值域．

Answer 1

（1）f(x)=

-2x+1

2x+1+1

，f(1)=

-2+1

22+1

=-

1

5

，f(-1)=

- 1 2 +1

2

=

1

4

，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函數；                       （4分）
（2）f（x）是奇函數時，f（-x）=-f（x），即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2x+a

2x+1+b

對任意實數x成立．      （6分）
化簡整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0，這是關于x的恒等式，
所以

2a-b=0 2ab-4=0

，所以

a=-1 b=-2

（舍）或

a=1 b=2

．           （10分）
（3）（理）f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
因為2^x＞0，所以2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，從而-

1

2

＜f(x)＜

1

2

；                 （14分）
而c2-3c+3=(c-

3

2

)2+

3

4

≥

3

4

對任何實數c成立；              （16分）
所以對任何實數x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．               （18分）
（4）（文） f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，因為2^x＞0，（12分）
所以2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，（14分）
從而-

1

2

＜f(x)＜

1

2

；所以函數f（x）的值域為(-

1

2

，

1

2

)．        （18分）