Question

如圖，⊙O與⊙P相交于A、B兩點，圓心P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于點B，CP及其延長線交⊙P于D，E兩點，過點E作EF⊥CE，交CB的延長線于點F．
（I）求證：四點B、P、E、F共圓；
（II）若CD=2，，求出由四點B、P、E、F所確定圓的直徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證四點B、P、E、F共圓，只要通過三角形Rt△CBP和Rt△CEF相似證明由此四點構成的四邊形對角互補即可；
（2）先根據（1）中四點B，P，E，F共圓條件得切線，再由切割線定理及三角形相似求得EF，最后再結合勾股定理求得PF即為所求圓的直徑即可．
解答：證明：（I）連接PB．∵BC切⊙P于點B，
∴PB⊥BC．
又∵EF⊥CE，且∠PCB=∠FCE，
∴Rt△CBP∽Rt△CEF，
∴∠CPB=∠CFE，
∴∠EPB+∠EFB=180°，
∴四點B，P，E，F共圓（5分）
（II）∵四點B，P，E，F共圓，且EF⊥CE，PB⊥BC，
∴此圓的直徑就是PF．
∵BC切⊙P于點B，且，
∴由切割線定理CB²=CD•CE，得：CE=4，DE=2，BP=1．
又∵Rt△CBP∽Rt△CEF，∴EF：PB=CE：CB，得．
在Rt△FEP中，，
即由四點B，P，E，F確定圓的直徑為（10分）
點評：本題主要考查與圓有關的比例線段，切割線定理、四點共圓的判定定理等的應用．屬于基礎題．