Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（x+4）=f（x），f（x）=

-x2+1  -1≤x≤1 log2(-|x-2|+2) ，1＜x≤3

，若關于x的方程f（x）-ax=0有5個不同實根，則正實數a的取值范圍是（　�。�

• A、(

  1

  4

  ，

  1

  3

  )
• B、(

  1

  6

  ，

  1

  4

  )
• C、(16-6

  7

  ，

  1

  6

  )
• D、(

  1

  6

  ，8-2

  15

  )

Answer 1

分析：由f（x）-ax=0得f（x）=ax，根據函數f（x）的周期性，分別作出函數y=f（x）和y=ax的圖象，利用方程有5個不同的實根，利用數形結合即可得到結論．

解答：解：當1＜x≤2時，-|x-2|+2=x-2+2=x，此時f（x）=log?₂（-|x-2|+2）=log?₂x，
當2≤x≤3時，-|x-2|+2=-（x-2）+2=-x+2+2=4-x，此時f（x）=log?₂（-|x-2|+2）=log?₂（4-x），
∵f（x+4）=f（x），
∴函數的周期是4，
由f（x）-ax=0得f（x）=ax，
設函數y=f（x）和y=ax，
作出函數f（x）的圖象如圖：
要使方程f（x）-ax=0有5個不同實根，
即函數y=f（x）和y=ax有5個不同的交點，
則由圖象可知當直線y=ax經過點B（6，1）時，此時兩個圖象有6個交點，此時由1=6a，解得a=

1

6

，
當直線y=ax，在A處與f（x）相切時，此時兩個圖象有4個交點，
∵當3≤x≤5時，-1≤x-4≤1，
此時f（x）=f（x-4）=-（x-4）²+1，
由f（x）=ax，得-（x-4）²+1=ax，
整理得x²+（a-8）x+15=0，
則由△=（a-8）²-4×15=0，
得△=（a-8）²=60，
即a-8=±

60

=±2

15

，
∴a=8±2

15

，
此時方程的根x=-

a-8

2

∈(3，4)，
解得0＜a＜2，
∴此時a=8-2

15

，
∴滿足條件的a的取值范圍是

1

6

＜a＜8-2

15

，
故選：D．

點評：本題主要考查方程根的個數的應用，根據方程和函數之間的關系，轉化為兩個函數圖象的交點問題是解決本題的關鍵，利用數形結合是解決本題的基本思想．本題難度較大，綜合性較強．