Question

定義在R上的函數f（x）滿足：f(x+2)=

1-f(x)

1+f(x)

，當x∈（0，4）時，f（x）=x²-1，則f（2010）=

 

．

Answer 1

分析：由f(x+2)=

1-f(x)

1+f(x)

，得出函數的周期性，再根據周期性將f（2010）用（0，4）的函數的值表示出來，即可求出函數值

解答：解：∵定義在R上的函數f（x）滿足：f(x+2)=

1-f(x)

1+f(x)

∴f(x+4)=

1-f(x+2)

1+f(x+2)

=

1- 1-f(x) 1+f(x)

1+ 1-f(x) 1+f(x)

=f（x）
故函數的周期是4
∴f（2010）=f（2）
又x∈（0，4）時，f（x）=x²-1，
∴f（2010）=f（2）=2²-1=3
故答案為3

點評：本題考查函數的周期性，求解本題，關鍵是根據所給的恒等式推導出函數的周期是4，再利用周期性對f（2010）進行化簡，利用書籍中所給的x∈（0，4）時，f（x）=x²-1，求值，這是此類題常用的思路，其特征是自變量比較大，此處的函數解析式不易求得，有此特征出現即可優先考慮周期性．本題也考查了利用題設條件進行推理論證的能力．