Question

已知函數f（x）=|x+1|+|x-1|（x∈R）．
（1）證明：f（x）函數是偶函數；
（2）利用絕對值及分段函數知識，將函數解析式寫成分段函數，然后在給定的坐標系中畫出函數圖象；
（3）寫出函數的值域．

Answer 1

分析：本題考查的是絕對值函數、分段函數、分段函數圖象及函數求值域的問題．在解答時，可以先根據自變量的范圍將絕對值函數轉化為分段函數；再根據自變量的范圍畫出對應解析式在直角坐標系下的圖象即可；最終利用函數的圖象即可讀出函數的值域．

解答：證明：（1）因為函數y=f（x）的定義域為R，
且f（-x）=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f（x），所以f（x）是偶函數；
（2）f(x)=

-2x(x＜-1) 2(-1≤x≤1) 2x(x＞1)

（3）函數的值域為：[2，+∞）．

點評：此題考查的是絕對值函數、分段函數、分段函數圖象及函數求值域的問題．解答過程當中，去絕對值知識、分段函數畫圖知識、函數的奇偶性、函數的值域求解以及問題轉化的思想都得到了充分的體現．值得同學們體會反思．